دیورژانس چیست؟

کاربردهای علوم ریاضی

دیورژانس چیست؟

پستتوسط dkhatibi » جمعه 9 دی 1390, 7:46 pm

دیورژانس (divergence) یک میدان برداری مانند ، نمادگذاری به صورت  یا  (در اینجا از نمادگذاری نوع دوم بهره خواهیم گرفت)، به وسیله حد انتگرال رویه ای (surface integral)


                                 


تعریف می شود که در آن انتگرال رویه ای، مقدار انتگرالگیری شده F روی رویه ی مرزی بینهایت کوچک بسته ای در اطراف عنصر حجمیV, را نشان می دهد، طوری که این رویه با استفاده از یک عملیات حدی به اندازه ی صفر برده شده است. بنابراین دیورژانس یک میدان برداری (vector field)، یک میدان اسکالر (scalar field) است. اگر del ·F=0، آنگاه میدان یک میدان فاقد دیورژانس (divergenceless field) است. نماد  همچنین با نام عملگرهای "دل" (del) و یا "نابلا" (nabla) نیز شناخته می شود.


مفهوم فیزیکی دیورژانس یک میدان برداری، حاکی از نرخ "چگالی" موجود در یک ناحیه ی مشخص از فضا است. لذا تعریف دیورژانس به طور طبیعی (در غیاب فرض ایجاد شدن یا به زوال رفتن ماده، به طور کلی متغیر بودن ماده) تنها با اتکا بر این فرض قابل حصول است که چگالی داخل یک ناحیه ی فضایی تنها می تواند با داشتن جریان به سمت داخل یا بیرون از ناحیه ی مفروض تغییر کند. با اندازه گیری شار (جریان) کل محتوای ماده ی گذرنده از یک رویه در اطراف ناحیه ی فضایی مربوطه، بلافاصله ممکن خواهد بود تا بگوییم چگونه چگالی داخلی تغییر یافته است. این یک ویژگی بنیادین در فیزیک است که با نام "اصل پیوستگی" (principle of continuity) شناخته می شود. هنگامی که این اصل به صورت یک قضیه رسمی عنوان شد، از آن پس آن را قضیه ی دیورژانس (divergence theorem) و یا همچنین قضیه ی گائوس می نامند. در حقیقت تعریف بکار برده شده در معادله بالا بیانی از قضیه ی دیورژانس است.

dkhatibi
بنیان گذار سایت
 
پست ها : 206
تاريخ عضويت: دوشنبه 16 مرداد 1390, 12:11 am
محل سکونت: Under the sky of GOD

Re: دیورژانس چیست؟

پستتوسط dkhatibi » جمعه 9 دی 1390, 7:47 pm

یک تعبیر مکانیکی


برای مثال، معادله ی پیوستگی مکانیک سیالات بیان می کند که نرخی که بر اساس آن چگالی rho در هر عنصر حجمی بینهایت کوچک سیال کاهش می یابد، متناسب با شار جرم (تغییرات پی در پی جرم) بخش های متفاوت سیال که در حال دور شدن از عنصر هستند می باشد و با قاعده ی زیر نشان داده می شود:


 del ·(rhou)=-(partialrho)/(partialt),                  


که  u میدان برداری سرعت سیال است. در موردی معمول که درآن چگالی سیال ثابت است، این رابطه به یک معادله زیبا و موجز تقلیل می یابد


 del ·u=0,                 


که به آسانی می گوید برای اینکه چگالی در سرتاسر سیال ثابت بماند، نبایستی بخش های حاوی ماده سیال در هیچ نقطه ای تشکیل یک گره یا انباشتگی دهند و لذا میدان برداری سرعت های بخش های بوجود آورنده ی سیال برای هر سیستم مادی لازم است که میدانی فاقد دیورژانس (divergenceless field) یا به اصطلاح میدانی بدون واگرایی باشد. 


دیورژانس در نظریه ی الکترومغناطیس نیز در دو معادله از چهار معادله ماکسول حضور دارد


rho/(epsilon_0)   =   del ·E            


0,   =   del ·B            


که از واحدهای MKS در اینجا استفاده کرده ایم: E میدان الکتریکی، rho اکنون نماینگر چگالی بار الکتریکی، epsilon_0 ثابت تناسب که موسوم به ثابت گذردهی الکترون از خلا و در نهایت B معرف میدان مغناطیسی است.


بعلاوه ی ۲ معادله ی دیگر از مجموعه معادلات ماکسول، اینها قوانینی هستند که به طور بالقوه ویژگی های نسبیتی و کلاسیکی الکترومغناطیس را توصیف می کنند.


فرمولی که برای پیدا کردن دیورژانس یک میدان برداری کاربرد دارد، را می توان سریعاً با ایجاد کردن یک شش ضلعی بینهایت کوچک فرضی که در امتداد محور مختصات حول یک ناحیه ی بینهایت کوچک از فضا جهت گیری شده است، بدست آورد. بنابراین "حجم" خالص این شش ضلعی را می توان به راحتی با جمع زدن تفاضل های مقادیر میدان برداری در امتداد ۳ مجموعه ی اضلاع موازی با هم (اضلاع متقابل) محاسبه کرد. با نوشتن  F=(F_x,F_y,F_z) بلافاصله بدست می آید:


 del ·F=(partialF_x)/(partialx)+(partialF_y)/(partialy)+(partialF_z)/(partialz).              


این فرمول را می توان دلیلی برای توجیه انگیزه ی انتخاب نماد del · برای دیورژانس دانست. تعبیر کردن از del   به عنوان عملگر گرادیان (gradient) del =(partial/partialx,partial/partialy,partial/partialz)، "حاصلضرب نقطه ای" (dot product) این عملگر با میدان برداری اصلی F=(F_x,F_y,F_z) دقیقا معادل رابطه ی اخیر است.


درحالیکه این عملگر به نوعی به نظر می رشد که در مختصات دکارتی است، تعریف عمومی به کلی به مختصات خاصی ربط ندارد. در حقیقت با تعریف


 F=F_1u_1^^+F_2u_2^^+F_3u_3^^,                 


دیورژانس در هر محتصات منحنی الخط دلخواه (curvilinear coordinates) به صورت زیر داده می شود:


 del ·F=1/(h_1h_2h_3)[partial/(partialu_1)(h_2h_3F_1)+partial/(partialu_2)(h_3h_1F_2)+partial/(partialu_3)(h_1h_2F_3)].             


دیورژانس تبدیل خطی یک بردار یکه (unit vector) که با ماتریس A نمایش داده می شود، به وسیله فرمول زیبای ذیل توصیف می شود:


  del ·(Ax)/(|x|)=(Tr(A))/(|x|)-(x^(T)(Ax))/(|x|^3),        


که  Tr(A) رد ماتریس (matrix trace) یا همان مجموع درایه های قطر اصلی و x^(T) ترانهاده ماتریس را نشان می دهد.


مفهوم دیورژانس را می توان به میدان های تانسوری نیز بسط داد، به طوری که در این مورد دیورژانس تنجش مشتق هموردای (covariant derivative) میدان تانسوری است:


 del ·A=A_(;alpha)^alpha.

dkhatibi
بنیان گذار سایت
 
پست ها : 206
تاريخ عضويت: دوشنبه 16 مرداد 1390, 12:11 am
محل سکونت: Under the sky of GOD


بازگشت به کاربرد و مفاهیم ریاضی

چه کسي حاضر است ؟

کاربران حاضر در اين انجمن: بدون كاربران آنلاين و 1 مهمان

cron